DISTRIBUSI MAXWELL-BOLTZMANN
Distribusi Maxwell-Boltzmann menggambarkan kecepatan partikel dalam gas, di mana partikel tidak terus-menerus berinteraksi satu sama lain, tetapi bergerak bebas antara tabrakan pendek. Ini menggambarkan kemungkinan kecepatan partikel (besarnya vektor kecepatannya) yang dekat dengan nilai yang diberikan sebagai fungsi dari suhu dari sistem, massa partikel, dan bahwa nilai kecepatan. Distribusi probabilitas ini dikemukakan pertama kali oleh James Clerk Maxwell dan Ludwig Boltzmann.
Distribusi Maxwell-Boltzmann biasanya dianggap sebagai distribusi kecepatan molekul, tetapi juga dapat merujuk kepada distribusi untuk kecepatan, momentum, dan besarnya momentum molekul, yang masing-masing akan memiliki fungsi probabilitas distribusi yang berbeda, semua dari yang terkait. Kecuali dinyatakan lain, artikel ini akan menggunakan "distribusi Maxwell-Boltzmann" untuk merujuk pada distribusi kecepatan. Distribusi ini dapat dianggap sebagai besaran vektor 3-dimensi yang komponennya adalah independen dan terdistribusi normal dengan mean 0 dan standar deviasi a. Jika Xi didistribusikan sebagai
didistribusikan sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann dengan parameter a. Selain parameter skala, distribusi identik dengan distribusi chi dengan 3 derajat kebebasan.
Aplikasi distribusi Maxwell-Boltzmann dalam Fisika
Distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku untuk gas ideal dekat dengan kesetimbangan termodinamika, efek kuantum dapat diabaikan, dan kecepatan non-relativistik. Ini membentuk dasar dari teori kinetik gas, yang menjelaskan banyak gas bumi fundamental, termasuk tekanan dan difusi.
Derivasi
Penurunan asli oleh Maxwell diasumsikan semua tiga arah akan berperilaku dalam cara yang sama, tapi penurunan kemudian oleh Boltzmann menjatuhkan ini asumsi menggunakan teori kinetik. Distribusi Maxwell-Boltzmann (untuk energi) sekarang dapat paling mudah diturunkan dari distribusi Boltzmann untuk energi (lihat juga statistik Maxwell-Boltzmann mekanika statistik):
dimana Ni adalah jumlah molekul pada temperatur T kesetimbangan, indeks i yang memiliki energi Ei dan gi degenerasi, N adalah jumlah molekul dalam sistem dan k adalah konstanta Boltzmann. (Catatan bahwa kadang-kadang persamaan di atas ditulis tanpa gi faktor degenerasi. Dalam hal ini indeks i akan menentukan satu per satu, bukan satu kelompok gi memiliki energi Ei yang sama.) Karena kecepatan dan kelajuan berhubungan dengan energi, Persamaan 1 dapat digunakan untuk menurunkan hubungan antara temperatur dan kecepatan molekul dalam gas. Penyebut dalam persamaan ini dikenal sebagai fungsi partisi kanonik.
Distribusi vektor momentum
Berikut ini adalah derivasi yang sangat berbeda dari derivasi dijelaskan oleh James Clerk Maxwell dan kemudian dijelaskan dengan asumsi lebih sedikit oleh Ludwig Boltzmann. Melainkan dekat dengan pendekatan Boltzmann pada tahun 1877.
Untuk kasus "gas ideal" yang terdiri dari atom-atom yang tidak berinteraksi dalam keadaan dasar, energi total dalam bentuk energi kinetik, dan gi adalah konstan untuk semua i. Hubungan antara energy kinetic dan momentum untuk partikel massif adalah
dimana p2 adalah kuadrat dari vektor momentum p = [px, py, pz]. Oleh karena itu kita dapat menulis ulang persamaan (1) sebagai:
dimana Z adalah fungsi partisi, sesuai dengan penyebut dalam Persamaan 1. Berikut m adalah massa molekul gas, T adalah temperatur termodinamika dan k adalah konstanta Boltzmann. Ini distribusi Ni / N adalah sebanding dengan probabilitas fungsi kepadatan fp untuk menemukan molekul dengan nilai-nilai komponen momentum, sehingga:
Konstanta normalisasi C, dapat ditentukan dengan mengakui bahwa probabilitas dari molekul memiliki momentum apapun harus 1. Oleh karena itu integral dari persamaan 4 atas semua px, py, dan pz harus 1. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa:
Substitusi Persamaan (5) ke dalam persamaan (4) didapat:
distribusi dipandang menjadi produk dari tiga variabel independen terdistribusi normal px, py, dan pz, dengan varian mkT. Selain itu, dapat dilihat bahwa besarnya momentum akan dibagikan sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann, dengan
Distribusi energi
Dengan menggunakan p² = 2mE, dan fungsi distribusi untuk besarnya momentum (lihat di bawah), didapatkan distribusi energi:
Karena energi adalah sebanding dengan jumlah kuadrat dari tiga komponen momentum terdistribusi normal, distribusi ini adalah distribusi gamma dan distribusi chi-kuadrat dengan tiga derajat kebebasan.
Dengan teorema equipartition, energi ini merata di antara semua tiga derajat kebebasan, sehingga energi per derajat kebebasan didistribusikan sebagai distribusi chi-kuadrat dengan satu derajat kebebasan:
dimana ε adalah energi per derajat kebebasan. Pada kesetimbangan, distribusi ini akan terus berlaku untuk setiap jumlah derajat kebebasan. Sebagai contoh, jika partikel-partikel massa dipol kaku, mereka akan memiliki tiga derajat kebebasan translasi dan dua derajat kebebasan rotasi tambahan. Energi dalam setiap derajat kebebasan akan diuraikan sesuai dengan distribusi chi-kuadrat di atas dengan satu derajat kebebasan, dan total energi akan didistribusikan sesuai dengan distribusi chi-kuadrat dengan lima derajat kebebasan. Hal ini memiliki implikasi dalam teori panas gas spesifik.
Distribusi Maxwell-Boltzmann juga dapat diperoleh dengan mempertimbangkan gas menjadi jenis gas kuantum.
